11 වසර O/L · ගණිත සටහන

ත්\u200Dරිකෝණ කෝණ / සමද්විබාහුTriangle Angles & Isosceles Triangles

ත්\u200Dරිකෝණයක කෝණ එකතුව, සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණ ගුණ, සමාන්තර රේඛා, බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය, සහ බහුභුජ කෝණ — O/L I සහ II පත්\u200Dරවල නිතරම ලැබෙන ප්\u200Dරශ්න වර්ග.

කෝණ එකතුව 180° සමද්විබාහු බාහිර කෝණ සමාන්තර රේඛා බහුභුජ

ත්\u200Dරිකෝණයේ අභ්\u200Dයන්තර කෝණ එකතුව

Triangle Interior Angle Sum = 180°

මූලික න්\u200Dයාය

ත්\u200Dරිකෝණයක අභ්\u200Dයන්තර කෝණ තුනේ එකතුව සැමවිටම 180° යි

මූලික සූත්\u200Dර

∠A + ∠B + ∠C = 180°
ත්\u200Dරිකෝණයක ඕනෑම අභ්\u200Dයන්තර කෝණ දෙකකේ එකතුව
= 180° − තුන්වන කෝණය

ත්\u200Dරිකෝණයක කෝණ තුන 2x°, 3x°, 4x° නම්, එක් එක් කෝණයේ අගය සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

කෝණ එකතුව සමීකරණයක් ලෙස ලියන්න 2x + 3x + 4x = 180°

සජාතීය පද එකතු කරන්න 9x = 180°

x සොයන්න x = 180° ÷ 9 = 20°

එක් එක් කෝණය ගණනය කරන්න 2x = 2 × 20° = 40° 3x = 3 × 20° = 60° 4x = 4 × 20° = 80° පරීක්ෂාව: 40° + 60° + 80° = 180° ✓

✓

කෝණ = 40°, 60°, 80°

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණ

Isosceles Triangles — සමාන පාද කෝණ

ගුණධර්ම

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයක සමාන පාද දෙකට මුහුණලා ඇති කෝණ (පාද කෝණ) සමානයි

සමද්විබාහු ගුණ

① සමාන පාද දෙකට මුහුණලා ඇති පාද කෝණ සමානයි
② පාද කෝණ දෙක = (180° − ශීර්ෂ කෝණය) ÷ 2
③ ශීර්ෂ කෝණය = 180° − 2 × පාද කෝණය
④ බාහිර රේඛාවට අභ්\u200Dයන්තර සම-අන්තර කෝණ ද සමානයි

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයක ශීර්ෂ කෝණය 50° නම්, පාද කෝණ දෙකේ අගයන් සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

කෝණ එකතුව නියාමය යොදන්න පාද කෝණ + පාද කෝණ + ශීර්ෂ කෝණ = 180°

පාද කෝණ θ ලෙස ගන්න (සමාන නිසා) θ + θ + 50° = 180°

θ සොයන්න 2θ = 180° − 50° = 130° θ = 130° ÷ 2 = 65°

✓

පාද කෝණ දෙකම = 65°

උසස්

පාද කෝණය දෙගුණයක් ශීර්ෂ කෝණයට

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයක එක් පාද කෝණයක් ශීර්ෂ කෝණයට දෙගුණයක් වේ. සියලු කෝණ සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

ශීර්ෂ කෝණය = x° ලෙස ගන්න පාද කෝණය = 2x° (ශීර්ෂයට දෙගුණයක්)

කෝණ එකතුව 2x + 2x + x = 180° 5x = 180°

x සොයන්න x = 180° ÷ 5 = 36°

කෝණ ගණනය ශීර්ෂ කෝණය = 36° පාද කෝණ දෙකම = 2 × 36° = 72° පරීක්ෂාව: 72° + 72° + 36° = 180° ✓

✓

කෝණ = 36°, 72°, 72°

O/L ටිප්: "සමද්විබාහු" යන වචනය ප්\u200Dරශ්නයේ ඇත්නම්, සැමවිටම පාද කෝණ සමාන බව මතක තබාගන්න. එක් කෝණයක් පමණක් θ ලෙස ගෙන අනෙකත් θ ලෙසම ලියන්න.

බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය

Exterior Angle Theorem

න්\u200Dයාය

බාහිර කෝණය = එයට මුහුණලා නැති අභ්\u200Dයන්තර කෝණ දෙකේ එකතුව

සූත්\u200Dර

බාහිර කෝණය = මුහුණලා නැති අභ්\u200Dයන්තර කෝණ₁ + මුහුණලා නැති අභ්\u200Dයන්තර කෝණ₂
∠BCD = ∠BAC + ∠ABC

එක් බාහිර කෝණයක් + එයට අසල අභ්\u200Dයන්තර කෝණය = 180°

ත්\u200Dරිකෝණ ABC හි ∠A = 55°, ∠B = 45° නම්, B සිට BC රේඛාව දිගේ දිගු කිරීමෙන් සාදන බාහිර කෝණය සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය යොදන්න ∠ACD = ∠A + ∠B ACD යනු BC දිගුවෙන් සෑදෙන බාහිර කෝණයයි

අගයන් යොදන්න ∠ACD = 55° + 45° = 100°

පරීක්ෂාව (විකල්ප) ∠C = 180° − 55° − 45° = 80° ∠ACD = 180° − 80° = 100° ✓ බාහිර කෝණය + අසල අභ්\u200Dයන්තර කෝණය = 180°

✓

බාහිර කෝණය = 100°

ප්\u200Dරතිලෝම

බාහිර කෝණයක් දී ඇති විට — අභ්\u200Dයන්තර කෝණ සෙවීම

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයක පාද කෝණයට අසල ඇති බාහිර කෝණය 130° නම්, ශීර්ෂ කෝණය සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

බාහිර කෝණය + අසල පාද කෝණය = 180° පාද කෝණය = 180° − 130° = 50°

සමද්විබාහු නිසා පාද කෝණ දෙකම 50° ශීර්ෂ කෝණය = 180° − 50° − 50° = 80°

✓

ශීර්ෂ කෝණය = 80°

සමාන්තර රේඛා සහ හරස් රේඛා

Parallel Lines & Transversals — කෝණ සම්බන්ධතා

මූලික ගුණ

සමාන්තර රේඛා දෙකක් හරස් රේඛාවකින් කැපෙන විට සෑදෙන කෝණ වර්ග

කෝණ සම්බන්ධතා (l₁ ∥ l₂)

① අනුරූප කෝණ (Corresponding) = සමානයි
∠1=∠5, ∠2=∠6, ∠3=∠7, ∠4=∠8

② විකල්ප කෝණ (Alternate) = සමානයි
∠3=∠6, ∠4=∠5 (අභ්\u200Dයන්තර) | ∠1=∠8, ∠2=∠7 (බාහිර)

③ සම-අභ්\u200Dයන්තර / අන්තර්පූරක (Co-interior) = එකතුව 180°
∠3+∠5=180°, ∠4+∠6=180°

④ සිරස් කෝණ (Vertically Opposite) = සමානයි
∠1=∠4, ∠2=∠3, ∠5=∠8, ∠6=∠7

අනුරූප + විකල්ප කෝණ

සමාන්තර රේඛා වල කෝණ සෙවීම

සමාන්තර රේඛා දෙකක් හරස් රේඛාවකින් කැපෙන විට එක් අනුරූප කෝණයක් 65° නම්, අනෙක් පසේ ඇති සම-අභ්\u200Dයන්තර කෝණය සහ විකල්ප කෝණය සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

අනුරූප කෝණ සමාන බැවින් අනුරූප කෝණය = 65°

විකල්ප කෝණය ද සමානයි (අනුරූප කෝණයට) විකල්ප කෝණය = 65°

සම-අභ්\u200Dයන්තර කෝණය (එකතුව 180°) සම-අභ්\u200Dයන්තර කෝණය = 180° − 65° = 115°

✓

විකල්ප = 65° | සම-අභ්\u200Dයන්තර = 115°

සමාන්තරතාවය ඔප්පු කිරීම

කෝණ දී ඇති විට — රේඛා සමාන්තරද යන්න තීරණය

හරස් රේඛාවකින් කැපෙන විට සෑදෙන අනුරූප කෝණ දෙකක් 72° සහ 72° නම්, එම රේඛා දෙක සමාන්තරද?

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

අනුරූප කෝණ සමාන නම් (72° = 72°) අනුරූප කෝණ සමාන → රේඛා සමාන්තරයි

හෝ විකල්ප කෝණ පරීක්ෂා කරන්න විකල්ප කෝණ සමාන (72° = 72°) → සමාන්තරයි

✓

ඔව්, රේඛා දෙක සමාන්තරයි — අනුරූප කෝණ සමාන නිසා

O/L ටිප්: "සමාන්තරද?" ලෙස ඇසූ විට, අනුරූප/විකල්ප/සම-අභ්\u200Dයන්තර කෝණ පරීක්ෂා කරන්න. කෝණ සමාන නම් → සමාන්තරයි (අනුරූප/විකල්ප), හෝ එකතුව 180° නම් → සමාන්තරයි (සම-අභ්\u200Dයන්තර).

බහුභුජ කෝණ (නියම කෝණ)

Polygon Angles — Interior & Exterior

සූත්\u200Dර

බහුභුජයක අභ්\u200Dයන්තර සහ බාහිර කෝණ

n පාර්ශ්ව බහුභුජයක් සඳහා

අභ්\u200Dයන්තර කෝණ එකතුව = (n − 2) × 180°

නියම බහුභුජයක එක් අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් = (n−2)×180° / n

බාහිර කෝණ එකතුව = 360° (සැමවිටම)

නියම බහුභුජයක එක් බාහිර කෝණයක් = 360° / n

එක් අභ්\u200Dයන්තර + එක් බාහිර = 180°

බහුභුජය	n	අභ්\u200Dයන්තර එක.	නියම අභ්\u200Dයන්.	නියම බාහිර
ත්\u200Dරිකෝණ (3)	3	180°	60°	120°
සතුර්භුජ (4)	4	360°	90°	90°
පංචභුජ (5)	5	540°	108°	72°
ෂට්භුජ (6)	6	720°	120°	60°
අෂ්ටභුජ (8)	8	1080°	135°	45°

අභ්\u200Dයන්තර කෝණ එකතුව

නියම බහුභුජයක කෝණ සෙවීම

නියම පංචභුජයක (Regular Pentagon) එක් අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් සහ එක් බාහිර කෝණයක් සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

පංචභුජයේ පාර්ශ්ව ගණන n = 5

අභ්\u200Dයන්තර කෝණ එකතුව = (n − 2) × 180° = (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°

නියම බහුභුජයක එක් අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් = 540° ÷ 5 = 108°

එක් බාහිර කෝණයක් = 360° ÷ 5 = 72° හෝ = 180° − 108° = 72° ✓

✓

නියම අභ්\u200Dයන්තර = 108° | නියම බාහිර = 72°

පාර්ශ්ව ගණන සෙවීම

කෝණයක් දී ඇති විට — බහුභුජය හඳුනා ගැනීම

නියම බහුභුජයක එක් බාහිර කෝණයක් 40° නම්, එම බහුභුජයේ පාර්ශ්ව ගණන සහ එක් අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

නියම බහුභුජයක බාහිර කෝණ එකතුව = 360° n = 360° ÷ එක් බාහිර කෝණය

n සොයන්න n = 360° ÷ 40° = 9 එනම්, නව භුජයකි (Nonagon)

එක් අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් = 180° − 40° = 140°

✓

පාර්ශ්ව 9 කි (නව භුජය) | නියම අභ්\u200Dයන්තර = 140°

වැදගත් O/L ක්\u200Dරමය: පාර්ශ්ව ගණන සෙවීමට බාහිර කෝණය භාවිතා කිරීම පහසුයි — n = 360° ÷ බාහිර කෝණය. අභ්\u200Dයන්තර කෝණයක් දී ඇත්නම්, පළමුව 180° − අභ්\u200Dයන්තරය = බාහිරය ලෙස ගණනය කරන්න.

සමකෝණ ත්\u200Dරිකෝණ සහ ඒකාබද්ධ ගැටලු

Equilateral + Combined Problems (O/L II පත්\u200Dරය)

සමකෝණ ත්\u200Dරිකෝණ

සමකෝණ ත්\u200Dරිකෝණයක සියලු කෝණ 60° සහ සියලු පාද සමානයි

ගුණ

සියලු කෝණ = 60°
සියලු පාද = සමානයි
සමකෝණ ත්\u200Dරිකෝණයක් = සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයකි (විශේෂ අවස්ථාවක්)
එහෙත් සමද්විබාහු ≠ සමකෝණ (සෑම විටම නොවේ)

O/L II පත්\u200Dර — ඒකාබද්ධ ගැටලුව

සමාන්තර රේඛා + සමද්විබාහු + බාහිර කෝණ — එකට

පහත රූප සටහනේ AB ∥ CD. ∠ABC = 55°, ∠BCD = 60° නම්, △BCE හි ∠BEC (x°) සොයන්න. (E යනු AB සහ CD රේඛා BC මත ඇති ලක්ෂ්\u200Dයයි.)

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

△BCE හි කෝණ එකතුව යොදන්න ∠EBC + ∠BCE + ∠BEC = 180°

∠EBC = 55° (දී ඇත), ∠BCE = 60° (දී ඇත) 55° + 60° + x° = 180°

x සොයන්න x° = 180° − 55° − 60° = 65°

✓

∠BEC = 65°

සමද්විබාහු + බාහිර කෝණ

සමද්විබාහු ත්\u200Dරිකෝණයක බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය යෙදීම

△ABC හි AB = AC, ∠A = 40°. BC දිගු කිරීමේ D ලක්ෂ්\u200Dයේ සෑදෙන බාහිර කෝණය ∠ACD සොයන්න.

පියවරෙන් පියවර විසඳුම

AB = AC බැවින් △ABC සමද්විබාහුයි ∠B = ∠C (සමාන පාද කෝණ)

පාද කෝණ ගණනය ∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°

බාහිර කෝණය ∠ACD ∠ACD = 180° − ∠ACB = 180° − 70° = 110° හෝ බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය: ∠ACD = ∠A + ∠B = 40° + 70° = 110° ✓

✓

∠ACD = 110°

O/L විභාග ටිප්: ඒකාබද්ධ ගැටලු වලදී පියවරෙන් පියවර ලියන්න — එක් එක් පියවරේ න්\u200Dයායයේ නම සඳහන් කරන්න ("සමද්විබාහු ගුණ නිසා", "බාහිර කෝණ න්\u200Dයාය" ආදී). මෙයට අමතර ලකුණු හිමිවේ.

★ ඉක්මන් යොමුව — සියලු සූත්\u200Dර

කෝණ එකතුව

∠A + ∠B + ∠C = 180°

සමද්විබාහු

සමාන පාද → පාද කෝණ සමාන

බාහිර කෝණ

∠ext = ∠opp₁ + ∠opp₂

අනුරූප කෝණ

l₁ ∥ l₂ → සමානයි

විකල්ප කෝණ

l₁ ∥ l₂ → සමානයි

සම-අභ්\u200Dයන්තර

l₁ ∥ l₂ → එකතුව 180°

අභ්\u200Dයන්තර එකතුව

(n−2) × 180°

බාහිර එකතුව

360° (සැමවිටම)

සමකෝණ

සියලු කෝණ = 60°

නියම බහුභුජ

(n−2)×180°/n හෝ 360°/n

☆ ගැටලු වර්ග — සාරාංශය

#	ගැටලු වර්ගය	මූලික ක්\u200Dරමය	මතක තබා ගන්න
1	කෝණ එකතුව	A+B+C = 180°	තුන්වන කෝණය = 180° − අනෙක් දෙක
2	සමද්විබාහු	පාද කෝණ සමාන	θ + θ + ශීර්ෂය = 180°
3a	බාහිර කෝණ → අභ්\u200Dයන්.	ext = opp₁ + opp₂	මුහුණලා නැති කෝණ දෙකේ එකතුව
3b	අභ්\u200Dයන්. → බාහිර	ext = 180° − adj	අසල අභ්\u200Dයන්තරය + බාහිරය = 180°
4a	අනුරූප/විකල්ප	සමානයි	l₁ ∥ l₂ නම් කෝණ සමාන
4b	සම-අභ්\u200Dයන්තර	එකතුව 180°	l₁ ∥ l₂ නම් එකතුව 180°
4c	සමාන්තරද?	කෝණ පරීක්ෂා	සමාන/180° → සමාන්තර
5	බහුභුජ කෝණ	(n−2)×180°	බාහිර 360°, n = 360°÷ext
6	සමකෝණ	60°+60°+60°	සමද්විබාහු + සමපාද